kobak pont org

A kérdést mai órán a poszt megjelenése utáni órán levezettem a "gyermekeimnek", s most megosztom Veletek is a bizonyítást. Barnabás készített egy kis programot, mely megmutatta mindenkinek, hogy tímillió próbálkozás után a nyerési esély változtatásnál 2/3. Érdekes adalék, hogy ha véletlenszerűen váltok-maradok, akkor az esélyem a nyerésre 50%, azaz még akkor is jobb, mint ha konok módon megmaradok az első választásomnál.

A hibás megközelítés az, hogy teljesen mindegy, hogy maradok, vagy váltok, 50%-50% az esélyem, hiszen két ablak között kell döntenem. A hiba oka, hogy ilyenkor elfelejtjük, hogy a játék nem ott kezdődött, hogy két ajtó között kell döntenünk. Volt előtte egy esemény, aminek következménye, hogy jelenleg két ajtó maradt már csak.

Mégis érdemes elgondolkodni azon, hogy miért jutnak ennek ellenére oly sokan az előbbi hibás következtetésre. Valószínűleg a gimnáziumi matematika oktatás is szerepet játszik ebben, mivel egyszerű példákkal vezetjük be a valószínűségszámítást. Megtanítjuk, hogy pl. érmedobásnál egy fej után ugyanakkora az esélye, hogy újra fejet dobunk, mint egy írásnak. Azaz az egymás utáni események nincsenek egymásra befolyással.
Ezután, amikor továbblépünk bonyolultabb, életszerűbb példákra, már sokan ezt veszik alapul az indulásnál.

A zsákbamacskás feladat megoldását e2 szépen levezette. Ez a legérthetőbb levezetése a feladatnak. picit azonban átfogalmazom. Két eset van:

1. Elsőre ráhibáztam az ajándékot tartalmazó ablakra. Ennek az esélye 1/3. Három ablak közül kell választanom, s csak egy nyer.
2. Nem nyerő ablakot választottam. Ennek az esélye 2/3. Két üres ablak van a három közül.

Látjuk, hogy a két esemény egymás komplementere, azaz nincs harmadik lehetőségem. Nézzük meg, mi történik az ajtónyitás után, ha váltok:

1. Veszítek
2. Nyerek

Mivel az esélyek nem változtak, váltás esetén a nyerés 2/3. A fenti gondolatmenetet a bayes tétel segítségével szépen le lehet vezetni. Ha szeretnétek beteszem azt is. :-)

Ennek a sok szép gondolatnak ellenére, ha visszanéznénk a zsákbamacska műsort, nem biztos, hogy a fenti arányok jönnének ki. Ugyebár tudjuk, hogy a fenti arányok csak megfelelően sok próbálkozás után alakulnak így, illetve azt is, hogy ezek "laboratóriumi körülmények" között születtek. El tudok képzelni olyan konkrét helyzetet, hogy én se váltanék (pl. kiismertük, hogy a műsorvezető a bal bokáját vakarja jobb kezével, ha már eleve az ajándékot választottuk).

Utólagos elnézést az ajtó és ablak konzekvens felcseréléséért. Legközelebb a babás feladatot elemezzük ki.

Amíg a zsákbamacska feladat elemzésével el nem készülök adok Nektek még egy hasonló, ámde annál egyszerűbb feladatot.

Béla új lakásba költözik, s tudja, hogy a szomszédnak két gyereke van, ám azok nemét nem ismeri. Meglátja, hogy az egyik fiú, mi az esélye annak, hogy a másik is az? FEltételezzük ezesetben, hogy a fiú-lány gyermek születésének az esélye azonos.

És akkor még egy kérdés. Béla megházasodik, s születik egy lánya, most várják a második gyermeküket. Mi az esélye annak, hogy az is lány lesz?

Régen volt már rejtvény, s mostanában a következő feladattal piszkálom a faktosaimat:

A játék lényege, hogy három ablakot mutatnak a játékosnak, s neki ezek közül kellett egyet választani. Persze, hogy a játék izgalmas legyen, az ablakok mögötti tartalom nem látható, s az egyik mögött hatalmas nyeremény van elrejtve. Miután megtörténik a választás, a műsorvezető kinyitja az egyik nem választott ablakot. Kiderül, hogy nincs mögötte ajándék.
Ezután felkínálja játékosunknak a váltás lehetőségét. Azaz megmaradhat az általa eredetileg választott ablaknál, vagy választhatja a másik még lefüggönyzött ablakot.

Kérdés, hogy mi a nyerő stratégia: Maradni, vagy váltani?

A dqime (Developing Quality in Mathematics Education in a European Context) projekt egy izgalmas új színfoltja lehet majd a magyar matematikaoktatásnak. Nem csak a magyarnak, hanem az egész európainak, ugyanis itt Európa számos országának matematika tanárai dugták össze a fejüket a közös cél érdekében. A cél pedig a matematika tanítás minőségének javítása.

Az oldalra ha ellátogattok, akkor jelenleg csak angol nyelvű feladatokat találtok. Tudom azok is .doc formátumban, amivel nem értek egyet, de ez egy másik kérdés. Az informatikai megvalósítást most tegyük félre (volna pár ötletem pedig)!

Nos, a sok angol nyelvű feladatot böngészve látható, hogy szinte mind egytől egyig igyekszik a való életet alapul venni, s egy valós probléma által felvetett kérdéseket megtárgyalni. A kérdések megválaszolásához azonban a matematika segítségül hívására van szükség. Ez a lényeg. Ezt kellene nekünk matematika tanároknak az iskolában megtanítani. Az élet tele van olyan helyzetekkel, problémákkal, ahol a matematika használható, ahol a logikus gondolkodás, algoritmusok gyártása, használata sokat segíthet(ne).

Sajnos az iskolában sok diáknak elmegy a kedve a matematikától, mert az túl elvont, értelmetlen, felesleges. Az ilyen diákok, későbbi felnőttek általában nem hajlandóak elfogadni, hogy a matematika lehet jó is. Tőlük hallom vissza fogadó órákon, hogy ő sose értette a matekot, nem is szerette, biztosan ezt örökölte a gyermeke is.
Pedig hány olyan szituációval kerülünk szembe, amikor a matematika használata oly kézenfekvő (lenne). Hogy csak párat említsek:

Buszokon ma már nem a hagyományos lyukasztó van, de régebben a dolog működött: Takarékos és türelmes utas vajon hány buszjegyet kellett, hogy magával hordjon/kilyukasszon, hogy az összes létező kombinációra fel legyen készülve? Megéri? Drágább, mint egy bérlet?
Megéri-e lottózni? Esetleg a hatos lottó jobban kifizetődő, mint az 5-ös? Mi a helyzet a skandinávval, s az összes többi szerencsejátékkal? Van-e nyerő stratégia a roulette-ben? Folytathatnánk a sort nagyon hosszan, s akkor csak a legkézenfekvőbb kérdések merültek fel.

Tudom, hogy a matematika nem csak ilyen feladatokból áll. A fentihez hasonló feladatok megoldásához szükséges matematikai apparátust meg kell tanítani, s ezek nem annyira érdekes órákat eredményeznek. Azonban ezeket is fel lehet sokszor dobni, ha esetleg egy nehezebb problémával indítunk, s megbeszéljük, hogy a megoldáshoz szükséges dolgokat először megtanuljuk.

A projekt feladatai hamarosan magyarul is elérhetők lesznek (ebbe pl. nekünk is van egy kis részünk). Itt a fenti kérdésekhez hasonló, sokszor azért annál egyszerűbb feladat található. Akit érint (középiskolás), annak érdemes esetleg majd megmutani a matek tanároknak is, hátha kedvet kap egy-két ehhez hasonló feladatot is megoldani Veletek órán.

A végére azért illik ide írnom, hogy messze nem vagyok annyira jó tanár, mint szeretnék lenni. Az én óráim is sokszor unalmasak, s sok esetben maradok a "hagyományos feladatoknál". Persze igyekszem bevinni egyre több való életbeli problémát (is).

Egy érdekes matek feladattal szeretnélek megörvendeztetni Benneteket! :-) A kérdés egyszerű, nem is ragoznám tovább:

Adott egy csoport. Libasorban mennek egymás után állandó sebességgel. 50 méter hosszú a sor. Az utolsó ember előremegy (állandó sebességgel) szólni az elsőnek, majd ugyanazzal a sebeséggel elindul vissza a helyére a sor végére. Mikor visszaérkezik a helyére, akkor veszi észre, hogy 120 méterrel került előrébb, mint amikor elindult előre, hogy szóljon az elsőnek.

Kérdés, hogy mekkora távot tett meg emberünk nagy futása közben. Megoldások holnap déltől, kérdés, ha van, azonnal. :-)

Ma már minden nap valaminek a napja. A mai a PI (π) napja. Ez persze nem jelent semmit, de jó tudni. ...ha előbb tudom, akkor ma minden órán a Pi-ről tanultunk volna. :-)

És akkor emlékeztetek mindenk kedves Olvasót, hogy volt már itt szó a PI-ről a blogon is. A piday.org oldal még egy picit félkész, de mindenesetre ötletes kezdeményezés, van egy kérdőív is, amivel szép nagy Pi-vel ellátott pólót lehet nyerni.