A múlt heti egyszerű feladatot követte egy picit nehezebb, így ezt a hetet egy szerintem elég nehéz feladattal indítjuk:
Adott egy zsákban tizenkét egyformának tűnő érme. 11 igazi, s 1 db hamis. A hamis érméről azt tudjuk, hogy a tömege eltér a többitől. Nehezebb vagy könnyebb az igaziaktól. Rendelkezésedre áll egy kétkarú mérleg, állapítsd meg három méréssel melyik a hamis!
4 responses to “Méregetés”
ezt megoldottam gimi elején anno, de ezt nagyon nehéz, leírni (főleg itt gépen, papíron még csak-csak levezetem mégegyszer, de gépén..) meg rémálom 😀
SPOILER
Jobb lenne vizuálisan bemutatni, de azt meghagyom neked 😉
Osszuk az érméket 3 csoportba (A, B, C), mindegyikben 4 db érmével.
1. mérésként hasonlítsuk össze az B és C csoportot.
I) Ha egyenlő súlyúak, a hamis elem az A csoportban van.
A 2. mérés tetszőleges két elem az A csoportból.
I/a) Ha egyenlő súlyúak, a maradék kettőből csak az egyiket tesszük a mérlegre, és ott hagyjuk a másik, biztosan egységnyi súlyú érmét (3. mérés).
I/a/a) Ha egyenlőek, akkor a maradék elem a hamis (és nem tudjuk könnyebb vagy nehezebb)
I/a/b) Ha billen a mérleg, akkor annak megfelelően a hamis érme könnyebb vagy nehezebb, hiszen egy biztosan egységnyi súlyú érméhez hasonlítottuk.
I/b) Ha eltérő súlyúak, akkor az I/a) módszert alkalmazzuk, így azt is meg tudjuk mondani, hogy a hamis elem könnyebb vagy nehezebb.
II) Ha eltérő súlyúak, a következőt tesszük.
A nehezebb csoportból (legyen az a C) vegyünk ki 3 elemet (ez lesz a D csoport) és helyettesítjük az A csoport biztosan egységnyi súlyú 3 elemével. A C utolsó ‘eredeti’ elemét pedig cseréljük fel B csoport egy elemével. 2. mérés.
II/a) Ha a mérlegállás nem változik, akkor a hamis érme a B csoport 3 érintetlen eleme között van és biztosan könnyebb. Három elemból 1 méréssel megtalálható a hamis elem, ha tudjuk, hogy az könnyebb vagy nehezebb (3. mérés).
II/b) Ha a mérleg egyenlőséget mutat, akkor az elkülönített 3 csoport (D) tartalmazza a hamis elemet, amelyik nehezebb. Mérés, mint az előző pontban.
II/c) Ha a mérleg átbillen az ellenkező állásba, akkor a 2 felcserélt elem között van a hamis. A 3. méréssel az egyiket hasonlítjuk egy biztosan egységnyi súlyú elemhez, így megállíptható, hogy melyik a hamis, de nem feltétlenül tudjuk meg, hogy könnyebb vagy nehezebb.
A vizuális levezetés jön a héten. 🙂
Meg lehet állapítani 3 méréssel azt is, hogy nehezebb vagy könnyebb-e a hamis érme 🙂