süket törpök

Ezen a héten egy kicsit matematikaibb rejtvényt kaptok ajándékba:

Tekintsük a következő P(n) állítást: egy n törpből álló olyan csoport, amiben van egy süket törp az kizárólag süket törpöket tartalmaz. P(1) triviálisan igaz. Most tegyük fel, hogy P(m) igaz valamilyen m-re. Legyen G egy m+1 törpből álló csoport, amiben van egy süket törp. Jelölje x ezt a süket törpöt. Ha x-hez hozzáveszünk G-ből m-1 másik törpöt, akkor az így kapott H csoport egy m törpből álló csoport lesz, amiben van egy süket törp. Mivel P(m) igaz, így H-ban csak süket törpök vannak. Legyen y az a törp, akit kihagytunk H-ból. y és m-1 törp H-ból egy olyan m tagú K törpcsoportot alkot, amiben van legalább egy süket törp, hiszen H-ban csak süket törpök vannak, így az indukciós feltevést ismét használva biztosak lehetünk benne, hogy y is süket törp, tehát G kizárólag süket törpökből áll. Bebizonyítottuk tehát, hogy ha van egy süket törp, akkor minden törp süket.
Vagy mégse?

Köszönet Hannák Gábornak a javaslatért. Ha másnak is van rejtvény javaslata, akkor küldhetitek.

Iratkozz fel, hogy elsőnek értesülj új bejegyzésekről:

2 responses to “süket törpök”

  1. hron84 Avatar

    Twitteren belekezdtem a valaszba, de ra kellett jonnom: keves a hely. Szoval, mindenfele kombinatorikai ismeret nelkul:

    az az alapfelteves lesz rossz, hogy P(m) igaz valamilyen m-re, mert P(m) akkor es csakis akkor igaz, ha m=1 viszont m != 1 -re sosem lesz az (ne haragudj a programozoi egyenlotlenseg jelert, nem tudom hogy kell berini a megfelelo unicode jelet). Ha G egy m+1 tagbol allo csoport, akkor G tagjainak szama legalabb 2, hiszen P(0) -ra nem tud igaz lenni az allitas (semmilyen torp nincs a 0 tagu csoportban, se suket, se masmilyen), marpedig G csak akkor lehet 1 tagu, ha m=0. A H csoport gyakorlatilag megegyezik a G csoporttal, hiszen a G-bol az osszes nem suket torpot is atvesszuk, vagyis az allitas szinten csak akkor lehet igaz, ha G eredeti letszama nem volt tobb, mint 1, vagyis nem volt benne mas, mint Mr. X, a suket torp.

  2. omti Avatar
    omti

    Vegyük a bizonyításból m=1 esetét.
    Ekkor veszünk egy 2 törpből álló halmazt.
    Ebből az egyik törp x.
    A G ből m-1=0 további törppel tudunk egy H csoportot csinálni x-el.
    Így nincs legalább egy törp aki biztosan süket de nem x,
    hogy teljesítse az indukcós bizonyításban a K csoportra való feltételt,
    így a bizonyítás ellentmondásra vezetett.

To respond on your own website, enter the URL of your response which should contain a link to this post’s permalink URL. Your response will then appear (possibly after moderation) on this page. Want to update or remove your response? Update or delete your post and re-enter your post’s URL again. (Find out more about Webmentions.)