2

süket törpök

Ezen a héten egy kicsit matematikaibb rejtvényt kaptok ajándékba:

Tekintsük a következő P(n) állítást: egy n törpből álló olyan csoport, amiben van egy süket törp az kizárólag süket törpöket tartalmaz. P(1) triviálisan igaz. Most tegyük fel, hogy P(m) igaz valamilyen m-re. Legyen G egy m+1 törpből álló csoport, amiben van egy süket törp. Jelölje x ezt a süket törpöt. Ha x-hez hozzáveszünk G-ből m-1 másik törpöt, akkor az így kapott H csoport egy m törpből álló csoport lesz, amiben van egy süket törp. Mivel P(m) igaz, így H-ban csak süket törpök vannak. Legyen y az a törp, akit kihagytunk H-ból. y és m-1 törp H-ból egy olyan m tagú K törpcsoportot alkot, amiben van legalább egy süket törp, hiszen H-ban csak süket törpök vannak, így az indukciós feltevést ismét használva biztosak lehetünk benne, hogy y is süket törp, tehát G kizárólag süket törpökből áll. Bebizonyítottuk tehát, hogy ha van egy süket törp, akkor minden törp süket.
Vagy mégse?

Köszönet Hannák Gábornak a javaslatért. Ha másnak is van rejtvény javaslata, akkor küldhetitek.

kobak

Koren Balázs, apa, tanár, geek. Ebben a sorrendben. Többnyire. A blogon többnyire ezekről a kalandjairól ír. Apaként, tanárként hogy lehet zöld ágra vergődni ezekkel az eszközökkel. Máskor pedig utazásról, sportokról, vagy egyéb őrült hobbijáról írogat.