zsákbamacska levezetés

A kérdést mai órán a poszt megjelenése utáni órán levezettem a “gyermekeimnek”, s most megosztom Veletek is a bizonyítást. Barnabás készített egy kis programot, mely megmutatta mindenkinek, hogy tímillió próbálkozás után a nyerési esély változtatásnál 2/3. Érdekes adalék, hogy ha véletlenszerűen váltok-maradok, akkor az esélyem a nyerésre 50%, azaz még akkor is jobb, mint ha konok módon megmaradok az első választásomnál.

A hibás megközelítés az, hogy teljesen mindegy, hogy maradok, vagy váltok, 50%-50% az esélyem, hiszen két ablak között kell döntenem. A hiba oka, hogy ilyenkor elfelejtjük, hogy a játék nem ott kezdődött, hogy két ajtó között kell döntenünk. Volt előtte egy esemény, aminek következménye, hogy jelenleg két ajtó maradt már csak.

Mégis érdemes elgondolkodni azon, hogy miért jutnak ennek ellenére oly sokan az előbbi hibás következtetésre. Valószínűleg a gimnáziumi matematika oktatás is szerepet játszik ebben, mivel egyszerű példákkal vezetjük be a valószínűségszámítást. Megtanítjuk, hogy pl. érmedobásnál egy fej után ugyanakkora az esélye, hogy újra fejet dobunk, mint egy írásnak. Azaz az egymás utáni események nincsenek egymásra befolyással.
Ezután, amikor továbblépünk bonyolultabb, életszerűbb példákra, már sokan ezt veszik alapul az indulásnál.

A zsákbamacskás feladat megoldását e2 szépen levezette. Ez a legérthetőbb levezetése a feladatnak. picit azonban átfogalmazom. Két eset van:

1. Elsőre ráhibáztam az ajándékot tartalmazó ablakra. Ennek az esélye 1/3. Három ablak közül kell választanom, s csak egy nyer.
2. Nem nyerő ablakot választottam. Ennek az esélye 2/3. Két üres ablak van a három közül.

Látjuk, hogy a két esemény egymás komplementere, azaz nincs harmadik lehetőségem. Nézzük meg, mi történik az ajtónyitás után, ha váltok:

1. Veszítek
2. Nyerek

Mivel az esélyek nem változtak, váltás esetén a nyerés 2/3. A fenti gondolatmenetet a bayes tétel segítségével szépen le lehet vezetni. Ha szeretnétek beteszem azt is. 🙂

Ennek a sok szép gondolatnak ellenére, ha visszanéznénk a zsákbamacska műsort, nem biztos, hogy a fenti arányok jönnének ki. Ugyebár tudjuk, hogy a fenti arányok csak megfelelően sok próbálkozás után alakulnak így, illetve azt is, hogy ezek “laboratóriumi körülmények” között születtek. El tudok képzelni olyan konkrét helyzetet, hogy én se váltanék (pl. kiismertük, hogy a műsorvezető a bal bokáját vakarja jobb kezével, ha már eleve az ajándékot választottuk).

Utólagos elnézést az ajtó és ablak konzekvens felcseréléséért. Legközelebb a babás feladatot elemezzük ki.