A nagy Fermat sejtés már régebben előkerült a blogon. Most egy másik remek YouTube video kapcsán a kis Fermat tétel kerül elő, s a titkosítás és oktatás kapcsán merengek.
Az említett video a numberphile projekt keretében készült. Az indulás óta fel vagyok iratkozva a youtube csatornájukra, követem őket a twitteren, ma a Facebook oldalt is “lájkoltam”. Az eddig valammiért kimaradt.
A numberphile projekt a mindent a számokról, s a számok világáról videók készítésével foglalkozik. Amikor indult, azt gondoltam, hogy ez egy véges projekt, de hamar rám cáfoltak. 🙂
Lássuk a videót, ami kapcsán billentyűzetet ragadtam:
Amikor a prímszámokról, oszthatóságról tanítok gimnáziumban, akkor mindig elmesélem, hogy ez a mai világ egyik legfontosabb és legizgalmasabb problémája.
Meg szoktam említeni a nyilvános kulcsú titkosítást, de eddig túl nehézkesnek éreztem a témát, hogy a részleteibe belemenjek. Viszont a fenti video újfent remek ötletet adott, hogyan tudom ezt bevinni a tanórára.
Azt feltételezem a blog olvasóiról, hogy számukra érthető volt a videoban látható szemléletes példa a kódolásra, azonban a 14-16 éves diákoknak kicsit részletesebb magyarázatra szorul majd az eljárás. Természetesen matematikában jártas olvasók a kis Fermat-tételt is kiválóan ismerik, a többieknek azt is el kell mesélni. Nem a bizonyítás részleteibe kell belemenni gimnázium alapórán, de mindenképpen izgalmas lehet az fakultáción, szakkörön.
Viszont a titkosított üzenetek küldése egymás között, az algoritmus megértése, s kisérletezgetés remek módja lesz a számolásnak, gyakorlásnak. A legegyszerűbb titkosírásoktól az RSA-ig sok mindent át lehet nézni alapórán is.
Aztán házi feladat, otthoni munkaképpen nyitható erre egy Facebook csoport, ahol párok/csoportok egymás között titkos üzneteket küldözgethetnek, a többiek meg próbálhatják megfejteni azt. És a karácsonyi szünet előtt ez egy remek óra lesz. Amikor már úgyis mindenki az angyalokat várja, s kevésbé fókuszál a tanulásra.
Most, hogy az Index megemlékezett az idei világbajnokságról, újra aktualitása van a dolognak, így előszedem a másfél éve pihenő beszámolómat.
2011. március 30-tól április 3-ig Nürnbergben rendezték meg a második fejszámoló világbajnokságot diákok számára. Diákoknak tekintjük a 8 és 17 év közötti gyermekeket. Míg itthon a fejszámolásnak nincs akkora divatja, majd minden diákunk a számológépbe kapaszkodva üli végig a matek órákat, addig Németországban nemzeti bajnokságokat is szerveznek évente a diákoknak. Indiában a fejszámolásnak szintén nagy divatja van. Szingapúr is három fővel képviseltette magát a versenyen.
A verseny két korcsoportban zajlott, a fiatalok a 8-13 korosztály, az idősebbek a 13 év felettiek. Mindkét korosztály ugyanazokat a feladatokat kapta, csak külön kerültek értékelésre.
Mielőtt azonban belekezdenénk a verseny elemzésébe, ami szombaton mintegy két órát vett igénybe, nézzük végig mi történt a verseny előtti napokban. 30-án délután 3-tól regisztráció, majd egy két órásra tervezett, de közel három órás szeminárium várt a versenyzőkre. Ezalatt átvették, s megosztották egymással a trükkjeiket az összeadás, kivonás és szorzás területén. Itt képzeljen mindenki 4-5 jegyű számokat is bátran, amik esetében az előbb említett műveleteket végre kellett hajtaniuk.
A délutáni szemináriumot három előadó tartotta, Gert Mittring, Willem Boumann és Andy Robertshaw. Mindhárman rendszeres résztvevői a felnőtt Mental Calculation bajnokságoknak. Gert általában a nyertes, s megdöbbentő tudását, Willem Boumann a maga kedves nagypapa korát meghazudtoló szellemi frissességét, élettapasztalatát, Andy pedig megfertőzött mindenkit a KenKen-nel.
Este egy előadást hallgattunk meg a számokról, számrendszerekről, s a számolás történetéről. Itt a számírás kezdetétől a különböző számrendszerek bevezetésén át egészen a komplex számokig hallhatta a számok iránt igen fogékony közönség az előadást. Ezután hogy már előre érezhessük mi vár a versenyzőkre, Gert Mittring a színpadon a közönség soraiból kapott feladatokat oldotta meg. Ezek kérésre nem olyan egyszerű feladatok voltak. Mittring a következő feladatokat számolta ki:
A fenti nehézségű feladatokra természetesen közel egy percre volt szükség, hogy fejben kiszámolja. Zárásképpen a közönség tagjai a születési dátumukat mondták be, mire Gert Mittring azonnal megmondta milyen napon születtek.
Második nap se volt április tréfa, sőt azt kell, hogy mondjam április elsején még komolyabb szellemi terhelés várt a fiatalokra. Reggel 10-től délután 1-ig tartott az első szeminárium, ahol az osztás, s a gyökvonás volt a téma.
Ebédszünet után két gyermekkel együtt Gert Mittring előadást tartott a bajor tanároknak szervezett tanártovábbképző konferencián. Itt bemutatta, s elmesélt egy-két algoritmust, majd a fiatalok bemutatták azok alkalmazását.
Délután háromtól a hét napjainak meghatározása következett, majd a köbgyök, s a valutaváltás. Minden esetben algoritmusok megbeszélése, s a közös munka a lelke a programnak. Nem a versenyszellemet, hanem a kölcsönös segítséget, s a tapasztalatok cseréjét helyezik a szervezők a középpontba.
A második három órás szeminárium végeztével kétfajta résztvevőt lehetett megkülönböztetni, a résztvevők nagy része teljes meglepetésemre kilépve az ajtón még mindig számolgattak, megbeszéltek, s feladatokat adtak egymásnak. A résztvevők maradéka nem igazán kívánt a nap hátralevő részében számokról hallani.
A verseny szombaton reggel tíz órakor kezdődött. A fiataloknak fél tízre a helyszínen kellett lenniük, hogy mindent tökéletesen elő lehessen készíteni a verseny kezdetére. Ekkor a kisérő tanárok, szülők, s mindenki, aki nem résztvevője a versenynek (nem szervező) el kell, hogy hagyja a termet. Telefon, s minden zajforrás azonnali diszkvalifikálást jelent.
A versenyzők kapnak egy lapot, amin számtalan kérdés várt rájuk az elmúlt két napban gyakorolt témákból. Két óra áll rendelkezésükre, hogy a feladatokat a lehető legpontosabban megoldják. A feladatok nehézségtől függően kerülnek pontozásra. A lapra csak a végeredmény kerülhet leírásra. Bármi köztes számolás pontlevonást eredményez.
A szervezők másnapra kijavítják a versenyzők feladatsorait, s vasárnap délután négy órakor vette kezdetét a díjkiosztó ünnepség. Rácz Bettina Magyarországról a Budai Középiskola tanulója az idősebb korcsoportban indult. Mindkét korcsoportban az első három helyezett került díjazásra, a többiek oklevelet kaptak. Mi is oklevéllel indultunk haza.
Matematika tanárként részt venni a rendezvényen fantasztikus élmény volt. A fejszámolás módszertana, a becslés, gyorsaság, új algoritmusok megismerése egy számomra eddig ismeretlen terület volt. Tanárként is be kell, hogy valljam, számológéppel kiválóan tudtam gyököt vonni. Hogy mi módon lehet pár másodperc alatt 8 jegyű számból négyzetgyököt vonni (abban az esetben, ha az négyzetszám), maximum próbálkozás útján tudtam volna megoldani.
Sajnos ma Magyarországon egyetlen könyv érhető el, Fejszámolás címmel. Irhás János könyve esetleg antikváriumban még fellelhető. Ha azonban Németországban körültekintünk, s pl. az Amazon.de oldalon kiadjuk a Kopfrechnen keresőszót, akkor 300 feletti találatot kapunk. Ebben van ismétlés, azonban az arányok magukért beszélnek.
Nem Gert Mittringeket és Andreas Bergereket kell nevelni, de fontos, hogy a fejszámolás alapjait mindenki ismerje. Kártyatrükköket mindenki megtanul párat gyermekként. Van, akinek aztán jobban megy, s ámulatba ejti a barátokat egy-egy bulin. A fejszámolást is lehetne hasonlóan oktatni. Ugyanilyen jópofa tud lenni, amikor valaki megkérdezi a társaktól, hogy mikor születtek, majd kis gondolkodás után rávágja az milyen napra esett. S mikor mindenki lapoz ezerrel vissza az okostelefonja naptárában, rájönnek, hogy tényleg arra a napra esett a születésnapjuk.
A fejszámoláshoz elképesztő memóriára van szükség. Sok esetben a legjobb fejszámolók nem a legjobbak matematikából, s fordítva.
Drága barátaim, oktatással foglalkozó emberek, döntéshozók, diákok, szülők!
Ideje egy picit elgondolkozni. Amikor gyermekeink felcseperednek, s észreveszik, hogy 2 csoki, több mint az egy, boldogság ül ki az arcukra, örömmel számolnak. Az óvodában is örömmel számolnak, a matematika jó, s szeretik. Miért? Mert valami olyat tanulnak, aminek van értelme, napi életük során segíti őket.
Aztán bekerülnek az iskolapadba, s valahol valami történik, mert gimnáziumba érve a matematika már nem tartozik a kedvenc tantárgyak közé. A matematika mumus, a matematika értelmetlen, haszontalan, s pár embert kivéve a matekot egy egységként teljes szívéből utálja mindenki. Persze a sort folytathatnánk. Az egyetemen már egyenesen mumus, s “szórótantárgy” lesz a matematikából.
Miért? Miért nem jó már a matematika? Mi történik az alsós iskolai évek és a gimnázium közötti időben? Mi az, ami ennyire elveszi a gyermekeink kedvét a logikus gondolkodástól, számolástól, rajzolástól, szerkesztésektől?
A válasz egyszerű, a matematika átalakul. Az addigi kézzel fogható, érthető matematika valami absztrakt felfoghatatlan büvészség lesz. Egyenletek, függvények, koordináta rendszer, háromszögek veszik át az addigi két túró rudi meg három túró rudi szerepét, s a gyerekek elveszítik a talajt a lábuk alól.
Vége a kisérletezésnek, megszakad a kapcsolat a valósággal. Ez a magyar matematika oktatás tragédiája sajnos.
Talán ismerős mindenkinek az alábbi vicc:
Teaching Math in 1950:
A logger sells a truckload of lumber for $100. His cost of production is 4/5 of the price. What is his profit?
Teaching Math in 1960:
A logger sells a truckload of lumber for $100. His cost of production is 4/5 of the price, or $80. What is his profit?
Teaching Math in 1970:
A logger exchanges a set “L” of lumber for a set “M” of money. The cardinality of set “M” is 100. Each element is worth one dollar. Make 100 dots representing the elements of the set “M.” The set “C,” the cost of production contains 20 fewer points than set “M.” Represent the set “C” as subset of set “M” and answer the following question: What is the cardinality of the set “P” of profits?
Teaching Math in 1980:
A logger sells a truckload of lumber for $100. His cost of production is $80 and his profit is $20. Your assignment: Underline the number 20.
Teaching Math in 1990:
By cutting down beautiful forest trees, the logger makes $20. What do you think of this way of making a living? Topic for class participation after answering the question: How did the forest birds and squirrels “feel” as the logger cut down the trees? There are no wrong answers.
Teaching Math in 2002:
A logger sells a truckload of lumber for $100. His cost of production is $120. How does Arthur Andersen determine that his profit margin is $60?
Mi valahol leragadtunk a 70-es évek matematikájánál. Ismeretlenekkel, sokszor teljesen elszakadva a valóságtól.
Mit lehet tenni ez ellen? Vigyük be újra a valóságot a matematika órára! Fedeztessük fel a tételeket, összefüggéseket, mutassuk meg a valóságban hol, hogyan használjuk azt, érezzék a diákok újra, hogy hasznos dolgokat tanulnak!
Mutatok két egyszerű példát.
Mi az a függvény? Két dolog közötti összefüggés. Menjenek be a legközelebbi étterembe, s fényképezzék le az étlapot. Majd készítsenek belőle egy koordináta rendszert! Vízszintes tengelyen az ételek, függőlegesen az árak. Használjanak táblázatkezelőt ehhez! Beszélgessetek róla! Miért nem ilyen formán kapják a vendégek kézbe az étlapot?
Trigonometria. Derékszögű háromszög, sin, cos, tan függvények oktatásánál menjetek ki az udvarra, az utcára, mérjetek távolságot, szögeket, s határozzátok meg az épületek, villanyoszlopok magasságát.
Lesznek olyanok, akik nem vesznek részt ebben? Persze. De ha érzik, hogy Neked fontos tanárként, akkor élvezni fogják. És megértik, hogy amit tanulnak, annak van értelme.
Használjatok GeoGebrát felfedezni összefüggéseket, vonjátok be az okostelefonokat, internetet az oktatásba!
Lássák, s értsék a diákok újra, hogy van értelme a matematikának!
Eddig is volt szerencsém az ELTE TTK-n matematikát oktatni néhány kevésbé szerencsés hallgatónak, idén szeptembertől azonban teljes állásban tanítok az intézményben. Így nem csak beszaladok, tartok egy órát, majd futok tovább. Ma gondoltam egy merészet, s az egyik felzárkóztató csoportommal úgy döntöttem kicsit izgalmasabbá teszem az órát. Előkészítettem nekik két gyakorláat között egy remek internet alapú interaktív feladatsort a Socrative segítségével.
Arra alapoztam, hogy mindenkinek, de legrosszabb esetben is minden harmadik embernek van internetezésre alkalmas eszköz a birtokában. Ez a gimnáziumban nálunk nagyjából 50% a matek csoportjaimban. Végzős osztályomban 75% körül járt. Így úgy éreztem nem lőhetek mellé, ez egyetemen csak jobb lehet az arány. Nos, öngólt rúgtam. Sikerült az egyetlen olyan csoportot kiválasztani, ahol az arány bőven az átlag alatt van.
Beértem az órára, összeraktam a projektort, bekapcsoltam a gépet, elindítottam a Socrative-vel készített remek kvízt, mondom m.socrative.com, szobaszám 599991. És ekkor kiderült, hogy a 18 fős csoportban 2(!) alkalmas eszköz áll rendelkezésre. Nem baj. Így maradt a kivetítő, laptop, legalább nem pazaroltam papírt az órán.
Itt jegyzem meg, hogy ha valaki IKT eszközöket használ az órán, akkor mindig fel kell készülni valami alternatív megoldással. Rengetegszer fordult már elő velem is, hogy az előkészítésnél valami jól működött, de az órán teljesen másképpen alakultak a dolgok. Ettől nem kell megrémülni, s emiatt nem szabad eltántorodni a modern eszközök használatától. Aki valaha készített óravázlatot, az tudja, hogy általában nem történik minden meg, s ha mégis, akkor sem úgy, ahogy az a vázlatban szerepel. Az pedig, hogy otthonosabban mozgunk még a tábla+kréta társaságában az azért van, mert azokat többet használtuk. Elő a telefont, laptopot, projektort, s próbáljuk alkalmazni azokat az órákon!
Nem gondolom azt, hogy mindenkinek okostelefonnal és/vagy laptoppal kell szaladgálnia. Azonban látva a gimnazista diákjaimat, a többi csoportomat (van, ahol 100% az arány) az egyetemen, ez az arány borzasztóan meglepett. Nem hiszem azt, hogy midnenkinek Desktop PC-je van otthon. Ma már egyre több diák laptopot kap érettségire, aki megengedheti már hamarabb. A mobilszolgáltatók, pedig már szinte nem is árulnak nem-internetképes telefont. Az egyetemen teljes wifi lefedettség van. Azaz még mobilnetre sincs szükség az internet eléréséhez.
Nem baj, a Socrative quiz megvan. Majd legközelebb egy másik csoportban próbálom ki. Tapasztalatokat így most nem tudok megosztani, de nagyon szeretek izgalmas dolgokkal játszani, s közelebb hozni a matematikát a diákokhoz.
A mai nap úgy látszik okostelefonos tanítós nap. 🙂 Miután a tapasztalataim azt mutatják, hogy kedves tizedikeseimnek nem mindig kerül be a házi feladat a füzetükbe, így lefényképeztem, s feltettem instagramra. Mostantól nincs kifogás. 🙂 Benne az e-naplóban, fent van Facebookon, s itt is. Aki ezekután azt mondja, hogy kereste, de nem találja, az nem mond igazat.
Mindig beszélek itt a GeoGebráról, s azt feltételezem, hogy mindenki ismeri, s tudja mi az. Így most, azoknak, akik esetleg nem tudják, gyorsan összeraktam egy rödid ismertetőt.
Aki az iskolakezdésre izgalmas matematikai szoftverre vágyik, azoknak szeretettel ajánlom figyelmébe a GeoGebrát. A GeoGebra egy dinamikus matematika szoftver. Azaz minden össze van kötve mindennel.
Emlékszel még, amikor a tanáraid 30 táblatörlés után rádtekintettek csillogó szemmel, s közölték, hogy ezek a függvények, s így működnek? Te ültél a padban, s igazából megkérdezted volna, hogy a harmadik törlés után mi történt, de nem merted. Mert akkor már olyan sebességgel került fel újabb koordináta rendszer, majd törlődött egy újabb kedvéért, hogy igazából lövésed se volt róla, hogy mi történik. Na, ezen tud például segíteni a GeoGebra. Az alkalmazás segítségével a függvények dinamikusan mozognak, változnak. Nem kell táblát törölni, egy egyszerű “csúszka” segítségével megmutatható minden függvénytranszformáció.
Készítettem erről egy gyors videót. Itt egy parabola két legalapvetőbb transzformációját mutatom be.
A GeoGebra eredendően egy Java alapú alkalmazás, ami köztudottan sem az iPaden, sem más mobil eszközön nem érhető el. Emiatt a fejlesztőcsapat elkezdett dolgozni egy html5 alapú verzión. Ez már elérhető, ráadásképpen a Chrome Store-ban alkalmazás szinten is megtalálható.
Fenti videóban a html5 verzióban készítettem el fél perc alatt ugyanazt, mint a Java alapú desktop alkalmazásban.
Ugye, hogy mennyivel egyszerűbb ez, s könnyebben érthető, mintha a táblára rajzoltam volna fel minden egyes lépést a fenti procedúrából? És mint látható minimális ismerettel pillanatok alatt készítettem el a dolgot.
Azonban nem csak ennyi. Az alkalmazás a statisztikától a geometrián át az analízisig a teljes matematika tananyag elsajátításához, szemléltetéséhez segítséget tud nyújtani. Kész anyagokért pedig a közel egy éve indult GeoGebraTube weboldalt érdemes felkeresni, ahova több, mint 12000 anyagot töltöttek már fel a GeoGebra felhasználók a világ minden tájáról.
A GeoGebra csapatnak kiemelten fontos, hogy az alkalmazás mindenki számára ingyenesen elérhető legyen, minden eszközre. Így elindítottunk egy Kickstarter kampányt, hogy a GeoGebra iPad verzióját is el tudjuk készíteni.
Miért nem mentem el szó nélkül a Tesco reklám mellett? Volt Facebookon egy remek komment, ami valamiért nem mászott át ide a blogra. Ez pedig hogy ha a Tesco azt írta volna, hogy elengedjük az ÁFÁ-t, azaz az árak 21,2%-kalNem pontos szám csökkennek, akkor tele lenne a sajtó azzal, hogy a Tesco nem tudja mennyi az ÁFA.
És jogos, valóban biztosan nagy felhördülés lenne, hogy miért csak ennyi a kedvezmény. Viszont ha nagy médiavisszhangot kapna egyszer egy ilyen kampány, akkor abból mindenki profitálna. Egyrészt a Tesco is, mert olyan helyekre juthatna el, amiért most súlyos pénzeket kellene fizetnie. A magyar diákság is, mert végre megtanulná, s nem felelne rosszul az állandó visszatérő százalékszámításos feladatra.
A tipikus feladat, amit még sajnos egyetemen is sokan elrontanak, s érettségin is 3 pontot ér a következő:
Egy termék árát 10%-kal növeljük, majd 10%-kal csökkentjük. Hogyan változott a termék ára? Csökkent, nőtt vagy nem változott?
és nem . Tudom nem sok különbség, de lényeges. 27% esetén fent láttuk, hogy már nagyobb különbséget kapunk:
Itt jut eszembe, hogy legközelebb mesélek majd a 0,99999999999999999999999999999999999999999999 számról is.
Az első cikkben benne szereplek én is. Sőt a sielés utáni tablóképem is belekerült. Ezen jól látszik, hogy napszemüveg volt rajtam, s jól leégett az orrom. 🙂
Mivel a koreai nyelvismeretem még nem annyira van magas szinten, így ráengedtem a Google Translate-et, ami először magyarra fordította a szöveget:
A panasz érkezik Koren-án tartott július 8, 2012 Geo konferencián részt zebra látogasson el hazánkban. “A Zebra Geo közelmúltban mutatja az áramlás a világban egy példa a matematika,” mondta “a munkáját a főiskolai képzés alapszinten akár egy ingyenes, egyszeri feladat, és együttműködnek,” mondta.
Ma 7 éve mondtunk igent egymásnak. Akkor még csak ketten (meg még rengeteg vendég :)). Azóta öten vagyunk. Kicsit fáradtabban, öregebben, de nagyon boldogan.
És akkor egy gyors egyenlet és számmisztika mindenkinek ebből az alkalomból:
Ha most 7 éves házasok vagyunk, Bori, Dani, s Misi korának egészrészei 5, 2, 0. Akkor most teljesül, hogy a gyerekek korát összeadva pont annyi évet kapunk, ahány éve házasodtunk (7=5+2+0). Hány év múlva lesz a gyerekek korának az összege pontosan kétszerese a mi házassági éveink számának?
![\sqrt[11]{23!}](https://s0.wp.com/latex.php?latex=%5Csqrt%5B11%5D%7B23%21%7D&bg=ffffff&fg=000&s=0&c=20201002)
és nem 
. Tudom nem sok különbség, de lényeges. 27% esetén fent láttuk, hogy már nagyobb különbséget kapunk: