kobak pont org

Tag: matek

  • 3 tabló, 2 bankett meghívó, 1 szerenád

    Ez az idei statisztika. A statisztika pedig szép is, jó is, de az adatok mögött mindig a lényeg veszik el. Kezdjük a végén, mert az a legfrissebb élmény. Tegnapelőtt itt járt az idei végzős Táncsicsos osztályom (egy része). Nagyon szépet énekeltek, s meghatódtam. Igen, szoktam ilyet csinálni. 🙂

    Éjfélhez közel járt már, mikor távoztak, s meg merem kockáztatni a kijelentést, hogy Ők is jól érezték Magukat nálunk. Bori is örült, hogy itt voltak, nem lehetett lelőni se, táncolt, puszikat osztott, rámolt, mosolygott, beszélt, s próbált mindenáron kibújni az aludni menés alól.

    Aztán kaptam már két meghívást is bankettre, s a három tablóból, amin kómás fejjel beletekintek a nagyvilágba már kettőt láttam is.

    Köszönöm Minden diákomnak, volt diákomnak, hogy taníthattam, s hogy kölcsönösen formáltuk egymást. Ha a tanár nem tanul a diáktól is, akkor ott baj van. Sokat tanultam mindhárom osztálytól, s remélem nekem is sikerült megszerettetnem Veletek a matematikát (de legalább egy pici részét).

  • legyél Uri Geller utódja

    Tegnap matek órán tettem egy kisérletet arra, hogy bebizonyítsam én vagyok a kiválasztott. Nem, a dolog nem komoly, pusztán csak kapóra jött ez a (igyekszem nyomdafestéket tűrő szavakat találni) szerintem nem túl jó műsor. Valószínűségszámítást vezettem be az egyik osztályomba, amikor feladtam a következő feladatot nekik:

    Gondolják ki, hogy ha 30 alkalommal feldobnánk egy érmét, mi lenne a dobások eredménye. Írják le! Amint megvannak végezzék is el a kisérletet! Írják le! Ezután én megmondom, melyik a kitalált, s melyik a valós kisérlet eredménye.

    Gyorsan kiderült, hogy a 30 kevés ahhoz, hogy ezt 100%-os eredménnyel meg lehessen megállapítani, de azért így is sikerült a lényegi kérdést elültetni a fejekben: “De hogyan csinálta a tanár úr?”

    Nem vagyok se látnok, se bűvész, csak egy mezei matek tanár, aki gondolkodik, s szeretné, ha mások is rájönnének ennek előnyére. Nos, az emberi agy szereti a szimmetriát. A pénzfeldobás pedig egy szimmetrikus esemény, mint tudjuk. Ugyanakkora eséllyel dobunk fejet, mint írást. Azaz, ha páros alkalommal dobjuk fel az érmét, akkor azt várjuk, hogy fele-fele arányban legyen közte fej és írás.

    A valóság azonban nem ragaszkodik ehhez annyira, mint mi. Érmedobás esetén simán elképzelhető, hogy egymás után dobunk 5-6 fejet is akár. Ezután viszont nem fogunk azonnal ugyanennyi írást is dobni, hogy javítsuk az előbbi eltolódást a fejek felé. Amikor valaki saját maga írja a fej-írás eredményeket, akkor azonban igyekszik tartani az arányt. Emiatt az írott változat mindig sokkal szimmetrikusabb/szabályosabb, mint a dobott változat.

    Ilyen kis játékok szinessé teszik az órát, s meg lehet szerettetni a diákokkal a matematika tanulást. Lehet, hogy még a nagy számok törvényét is megtanítom nekik, meg veszünk Bayes tételt is (ezek nem részei a középszintű írásbelinek). 🙂

  • matematika az iskolába, a valóság meg valami más…

    Kaptam egy kedves ismerőstől egy levelet. A zsákbamacska levezetés ihlette Őt a következő sorokra (engedélyezte, hogy a blogon válaszoljak):

    Ez a bejegyzés lassan két hete áll újabb áttekintésre várva. Azt hiszem nem fogom többször áttekinteni már, így megosztom ma Veletek.

    Szóval röviden próbálom: azt valószínűleg soha nem fogom megérteni, hogy ha a 3 ablakból az elsőn túl vagyok, akkor miért nem lehet 50-50% az esélyem – a valóságban. Azt értem, hogy a “játék nem itt kezdődött”, de számomra egy “labortiszta” játékban, ahol nincs bokavakarás stb, tehát nincs más ami segít nekem, az első ablakon való túljutás után emberileg újra 50-50% az esélyem. Tehát: pfű, megúsztam az elsőt! dejó! Választanom kell a következő 2 között…melyik legyen…??? Nem tudom, érzed-e a dilemmámat? Úgy érzem, hogy a konkrét esetben teljesen mindegy, melyiket választom. Úgy érzem, hogy a matematika ebben a példában nem írja le a valóságot… (Mert túl sok próba kell neki.)

    Próbáltam már az említett bejegyzésben is leírni, hogy miért nem jó gondolkodás az előbbi, de úgy tűnik egy újabb gondolatmenetre lesz szükség, hogy megvédjük a matematikát, s ne az iskolapadba száműzzük. Ez pedig szerintem nagyon fontos.

    Tehát kedves levélírónk, legyen Béla (Ha majd azt mondja ide kommentel a bejegyzés alá, hogy dehát Ő nem is Béla, akkor majd megtudjátok ki), nem tudja elfogadni, hogy befolyásolja a döntésünket, hogy a játék nem a két maradék ablaknál kezdőtött. Akkor most kötekszem, s remélem ez segít a megértésben:

    Ha már a 3 ablakból az elsőn túl vagy, akkor valóban két ablak van előtted, a valóban 50%-50% a nyerés esélye. Egyetlen baj, hogy ha így gondolkodsz, akkor nincs értelme a kezdeti kérdésnek, miszerint megéri-e változtatni. Ha nincs, csak két ablak előtted, akkor nincs már választott, már kinyitott ablak, amik alapján elgondolkodnál a döntésed megváltoztatásán. Ha elfelejtjük, hogy három ablakkal indultunk, akkor elfelejtjük azt is, hogy már választottunk egyet közülük.

    A másik dolog, amit írsz, Úgy érzem, hogy a matematika ebben a példában nem írja le a valóságot… (Mert túl sok próba kell neki.) részigazságot tartalmaz. Azok pedig mindig a legrosszabbak. Ha valami részben igaz, akkor hajlamosak vagyunk igaznak tekinteni teljesen. A matematika soha nem írta le a valóságot. A matematika modellezi azt. A modell pedig nem mindig jó. Ebben az esetben azonban az. 🙂

    A modellezés tökéletlenségével kapcsolatban a következőt szoktam mindig elmondani a diákjaimnak:

    Az, hogy az első képre mi azt mondjuk, hogy kocka, az nem jelenti azt, hogy az az. Nem lehet egy kockát egy papírra lerajzolni. Egy három dimenziós alakzat nem fér el 2 dimenzióban. Az általunk kockának tartott rajz azért kocka, mert az agyunkba már berögzült, hogy az az. Amikor a fenti módon először két négyzetet rajzolok, akkor aki először látja, mindig csodálkozik, hogy ez most mi. Nektek hányadik “összekötő vonal” után látható, hogy az kocka, s nem két négyzet?

    Ezt az esetlen modellt pedig mindannyian elfogadjuk. 🙂 Legalábbis rátekintve az utolsó két dimenziós rajzra mindenki fejében a három dimanziós kocka jelenik meg.

    Csakhogy…és ez az én bajom…mi értelme a mateknak, ha nem a valóságot segíti? Azért utáltam mindig (na jó, ez kicsit túlzás: csak az egyetemen utáltam), mert egyrészt nem értettem eléggé, másrészt valószínűleg nem voltak elég kreatívak a tanáraim ahhoz hogy felkeltsék az érdeklődésem és nem tudtak számomra “hasznosnak” látszó példákat mutatni. Viszont azóta olvastam egy két könyvet, ahol szépen átjött, mire is jó a matek. De ez a példa most valahogy kilóg…

    Sajnos az egyetemeken a matematikának a gyakorlati hasznát nem mutatják be (tisztelet a kivételnek!). A legtöbb helyen szórótantárgy a matek. Holott a logikus gondolkodás mindenütt szükséges lenne. Mire jó a matek? Pl. bűnüldözésre. 🙂

    Apropó, a zsákbamacska feladat egyébként a Numb3rs e01s13 -ban is előfordult.

  • zsákbamacska levezetés

    A kérdést mai órán a poszt megjelenése utáni órán levezettem a “gyermekeimnek”, s most megosztom Veletek is a bizonyítást. Barnabás készített egy kis programot, mely megmutatta mindenkinek, hogy tímillió próbálkozás után a nyerési esély változtatásnál 2/3. Érdekes adalék, hogy ha véletlenszerűen váltok-maradok, akkor az esélyem a nyerésre 50%, azaz még akkor is jobb, mint ha konok módon megmaradok az első választásomnál.

    A hibás megközelítés az, hogy teljesen mindegy, hogy maradok, vagy váltok, 50%-50% az esélyem, hiszen két ablak között kell döntenem. A hiba oka, hogy ilyenkor elfelejtjük, hogy a játék nem ott kezdődött, hogy két ajtó között kell döntenünk. Volt előtte egy esemény, aminek következménye, hogy jelenleg két ajtó maradt már csak.

    Mégis érdemes elgondolkodni azon, hogy miért jutnak ennek ellenére oly sokan az előbbi hibás következtetésre. Valószínűleg a gimnáziumi matematika oktatás is szerepet játszik ebben, mivel egyszerű példákkal vezetjük be a valószínűségszámítást. Megtanítjuk, hogy pl. érmedobásnál egy fej után ugyanakkora az esélye, hogy újra fejet dobunk, mint egy írásnak. Azaz az egymás utáni események nincsenek egymásra befolyással.
    Ezután, amikor továbblépünk bonyolultabb, életszerűbb példákra, már sokan ezt veszik alapul az indulásnál.

    A zsákbamacskás feladat megoldását e2 szépen levezette. Ez a legérthetőbb levezetése a feladatnak. picit azonban átfogalmazom. Két eset van:

    1. Elsőre ráhibáztam az ajándékot tartalmazó ablakra. Ennek az esélye 1/3. Három ablak közül kell választanom, s csak egy nyer.
    2. Nem nyerő ablakot választottam. Ennek az esélye 2/3. Két üres ablak van a három közül.

    Látjuk, hogy a két esemény egymás komplementere, azaz nincs harmadik lehetőségem. Nézzük meg, mi történik az ajtónyitás után, ha váltok:

    1. Veszítek
    2. Nyerek

    Mivel az esélyek nem változtak, váltás esetén a nyerés 2/3. A fenti gondolatmenetet a bayes tétel segítségével szépen le lehet vezetni. Ha szeretnétek beteszem azt is. 🙂

    Ennek a sok szép gondolatnak ellenére, ha visszanéznénk a zsákbamacska műsort, nem biztos, hogy a fenti arányok jönnének ki. Ugyebár tudjuk, hogy a fenti arányok csak megfelelően sok próbálkozás után alakulnak így, illetve azt is, hogy ezek “laboratóriumi körülmények” között születtek. El tudok képzelni olyan konkrét helyzetet, hogy én se váltanék (pl. kiismertük, hogy a műsorvezető a bal bokáját vakarja jobb kezével, ha már eleve az ajándékot választottuk).

    Utólagos elnézést az ajtó és ablak konzekvens felcseréléséért. Legközelebb a babás feladatot elemezzük ki.

  • fiú, vagy lány

    Amíg a zsákbamacska feladat elemzésével el nem készülök adok Nektek még egy hasonló, ámde annál egyszerűbb feladatot.

    Béla új lakásba költözik, s tudja, hogy a szomszédnak két gyereke van, ám azok nemét nem ismeri. Meglátja, hogy az egyik fiú, mi az esélye annak, hogy a másik is az? FEltételezzük ezesetben, hogy a fiú-lány gyermek születésének az esélye azonos.

    És akkor még egy kérdés. Béla megházasodik, s születik egy lánya, most várják a második gyermeküket. Mi az esélye annak, hogy az is lány lesz?

  • zsákbamacska

    Régen volt már rejtvény, s mostanában a következő feladattal piszkálom a faktosaimat:

    A játék lényege, hogy három ablakot mutatnak a játékosnak, s neki ezek közül kellett egyet választani. Persze, hogy a játék izgalmas legyen, az ablakok mögötti tartalom nem látható, s az egyik mögött hatalmas nyeremény van elrejtve. Miután megtörténik a választás, a műsorvezető kinyitja az egyik nem választott ablakot. Kiderül, hogy nincs mögötte ajándék.
    Ezután felkínálja játékosunknak a váltás lehetőségét. Azaz megmaradhat az általa eredetileg választott ablaknál, vagy választhatja a másik még lefüggönyzött ablakot.

    Kérdés, hogy mi a nyerő stratégia: Maradni, vagy váltani?

  • dqime

    A dqime (Developing Quality in Mathematics Education in a European Context) projekt egy izgalmas új színfoltja lehet majd a magyar matematikaoktatásnak. Nem csak a magyarnak, hanem az egész európainak, ugyanis itt Európa számos országának matematika tanárai dugták össze a fejüket a közös cél érdekében. A cél pedig a matematika tanítás minőségének javítása.

    Az oldalra ha ellátogattok, akkor jelenleg csak angol nyelvű feladatokat találtok. Tudom azok is .doc formátumban, amivel nem értek egyet, de ez egy másik kérdés. Az informatikai megvalósítást most tegyük félre (volna pár ötletem pedig)!

    Nos, a sok angol nyelvű feladatot böngészve látható, hogy szinte mind egytől egyig igyekszik a való életet alapul venni, s egy valós probléma által felvetett kérdéseket megtárgyalni. A kérdések megválaszolásához azonban a matematika segítségül hívására van szükség. Ez a lényeg. Ezt kellene nekünk matematika tanároknak az iskolában megtanítani. Az élet tele van olyan helyzetekkel, problémákkal, ahol a matematika használható, ahol a logikus gondolkodás, algoritmusok gyártása, használata sokat segíthet(ne).

    Sajnos az iskolában sok diáknak elmegy a kedve a matematikától, mert az túl elvont, értelmetlen, felesleges. Az ilyen diákok, későbbi felnőttek általában nem hajlandóak elfogadni, hogy a matematika lehet jó is. Tőlük hallom vissza fogadó órákon, hogy ő sose értette a matekot, nem is szerette, biztosan ezt örökölte a gyermeke is.
    Pedig hány olyan szituációval kerülünk szembe, amikor a matematika használata oly kézenfekvő (lenne). Hogy csak párat említsek:

    Buszokon ma már nem a hagyományos lyukasztó van, de régebben a dolog működött: Takarékos és türelmes utas vajon hány buszjegyet kellett, hogy magával hordjon/kilyukasszon, hogy az összes létező kombinációra fel legyen készülve? Megéri? Drágább, mint egy bérlet?
    Megéri-e lottózni? Esetleg a hatos lottó jobban kifizetődő, mint az 5-ös? Mi a helyzet a skandinávval, s az összes többi szerencsejátékkal? Van-e nyerő stratégia a roulette-ben? Folytathatnánk a sort nagyon hosszan, s akkor csak a legkézenfekvőbb kérdések merültek fel.

    Tudom, hogy a matematika nem csak ilyen feladatokból áll. A fentihez hasonló feladatok megoldásához szükséges matematikai apparátust meg kell tanítani, s ezek nem annyira érdekes órákat eredményeznek. Azonban ezeket is fel lehet sokszor dobni, ha esetleg egy nehezebb problémával indítunk, s megbeszéljük, hogy a megoldáshoz szükséges dolgokat először megtanuljuk.

    A projekt feladatai hamarosan magyarul is elérhetők lesznek (ebbe pl. nekünk is van egy kis részünk). Itt a fenti kérdésekhez hasonló, sokszor azért annál egyszerűbb feladat található. Akit érint (középiskolás), annak érdemes esetleg majd megmutani a matek tanároknak is, hátha kedvet kap egy-két ehhez hasonló feladatot is megoldani Veletek órán.

    A végére azért illik ide írnom, hogy messze nem vagyok annyira jó tanár, mint szeretnék lenni. Az én óráim is sokszor unalmasak, s sok esetben maradok a “hagyományos feladatoknál”. Persze igyekszem bevinni egyre több való életbeli problémát (is).

  • utolsó előre fut

    Egy érdekes matek feladattal szeretnélek megörvendeztetni Benneteket! 🙂 A kérdés egyszerű, nem is ragoznám tovább:

    Adott egy csoport. Libasorban mennek egymás után állandó sebességgel. 50 méter hosszú a sor. Az utolsó ember előremegy (állandó sebességgel) szólni az elsőnek, majd ugyanazzal a sebeséggel elindul vissza a helyére a sor végére. Mikor visszaérkezik a helyére, akkor veszi észre, hogy 120 méterrel került előrébb, mint amikor elindult előre, hogy szóljon az elsőnek.

    Kérdés, hogy mekkora távot tett meg emberünk nagy futása közben. Megoldások holnap déltől, kérdés, ha van, azonnal. 🙂

  • Boldog Pi napot!

    pidayMa már minden nap valaminek a napja. A mai a PI (π) napja. Ez persze nem jelent semmit, de jó tudni. …ha előbb tudom, akkor ma minden órán a Pi-ről tanultunk volna. 🙂

    És akkor emlékeztetek mindenk kedves Olvasót, hogy volt már itt szó a PI-ről a blogon is. A piday.org oldal még egy picit félkész, de mindenesetre ötletes kezdeményezés, van egy kérdőív is, amivel szép nagy Pi-vel ellátott pólót lehet nyerni.